Archives du 31 octobre 2013

Triangle rectangle et cercle circonscrit (4ème, 3ème)

Propriété 1 : Cette propriété permet de tracer le cercle circonscrit d’un triangle !

Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

Propriété 1 bis : Cette propriété permet de tracer le cercle circonscrit d’un triangle !

Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.

Propriété 2 : Cette propriété permet de calculer une longueur (soit de l’hypoténuse, soit une médiane !

Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit (ou la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse) vaut la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Propriété 3 : Cette propriété permet de montrer qu’un triangle est rectangle !

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un des ses côté alors ce triangle est rectangle.

(Le diamètre est son hypoténuse)

Propriété 4 : Cette propriété permet de montrer qu’un triangle est rectangle !

Dans un triangle, si la longueur de la médiane relative à un côté vaut la moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle.

Illustration de la propriété 1 :

propriété

Epreuve de Bernoulli – Schéma de Bernoulli – Variable aléatoire – Loi binomiale (1ère, terminale S/ES)

Fiche à télécharger et à imprimer: Bernoulli et Binomiale

I- Epreuve de Bernoulli :

On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve/expérience aléatoire ne possédant que deux issues possibles, que l’on appelle succès et échec. La probabilité du succès est p et celle de l’échec est q=1-p Cette épreuve de Bernoulli de paramètre p est notée B(p).

L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli sont données par :

E(X) =p                                  Var(X) =p(1−p) =pq

II- Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli consiste à la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p.

III- Variables aléatoires

On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les n épreuves. X peut prendre les valeurs entières de 0 à n.

IV- Loi binomiale

X suit une loi binomiale de paramètre n,p. Cette loi est notée B(n , p)

La loi de probabilité de X est donnée par

loi binomiale

Où

n est le nombre d’expériences

p est la probabilité du succès

q est la probabilité de l’échec

k est le nombre de succès (de la probabilité cherchée)

n-k est le nombre d’échecs (de la probabilité cherchée)

L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli sont données par

E(X) =np                                Var(X) =np(1−p) =npq

Rédaction type, exemple d’exercice :

Énoncé : On lance une pièce truquée. La probabilité d’obtenir face est 2/3. On effectue 10 lancés. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 piles ?

Ici l’épreuve de Bernoulli consiste à jeter la pièce une fois et regarder sur quelle face elle tombe. Le succès est « obtenir pile ». La probabilité du succès est 1/3 (1-2/3=1/3).

On effectue 10 fois cette même expérience de façon indépendante. On a ici un schéma de Bernoulli.

On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on obtient pile sur les n=10 épreuves

X suit une loi binomiale de paramètre 1/3, 10.

P(X=6)= 10 \choose 6 (\frac{1}{3})^6 \times (1-\frac{1}{3})^4\approx 0,057